Wissens-Bissen

Luftdruck - barometrische Höhenformel

Der Luftdruck - wer kennt ihn nicht. In jeder Wetterprognose spielt er eine Rolle.

Auf Meereshöhe beträgt der Luftdruck etwa 100 000 Pascal (=Newton/m²), oder 100 kPa. Er gibt an, wie viel Gewichtskraft die darüberliegende Atmosphäre aufgrund der Schwerkraft verursacht. Da 1 kg Gewicht etwa 10 N Gewichtskraft verursachen, bedeutet dies, dass auf jedem Quadratmeter Boden etwa 10 000 kg Luft lasten.

Würde, wie bei Normaldruck, 1 m³ Luft etwa 1.25 kg wiegen, entspräche dies einem 8000 m hohen Turm aus Luft. (Dies nennt man auch die Skalenhöhe der Atmosphäre.) Zum Vergleich und als Merkhilfe - die höchsten Berge der Erde sind ebenfalls etwa 8000 m hoch.

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Um die Sache etwas komplizierter zu machen: 1 m³ Luft wiegt aber nicht immer 1.25 kg. Das hängt von der Temperatur und vor allem vom Druck ab. Da der Druck mit der Höhe abnimmt, sinkt auch die Dichte der Luft.

Wenn man den Gedanken weiterdenkt (und etwas Analysis dazugibt), dann bemerkt man, dass die Dichte der Luft und auch der Luftdruck mit zunehmender Höhe etwa exponentiell abnimmt. Dies ist die zentrale Aussage der "barometrischen Höhenformel" (Link siehe oben).

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Wenn man die Sache noch komplizierter machen will, kann man auch noch berücksichtigen, dass die Luftdichte nicht nur von Temperatur und Druck abhängt, sondern auch noch von der chemischen Zusammensetzung. Da Wasserstoff leichter ist als Sauerstoff und Stickstoff, steigt er nach oben und sammelt sich in den obersten Atmosphärenschichten. Dadurch ergibt sich eine andere Dichte der Luft, die wiederum Auswirkungen auf den Druck hat. Man sieht in experimentellen Messdaten, dass der Zusammenhang zwischen Höhe und Druck/Dichte bei etwa 120 km einen Knick zu machen scheint - das ist der Übergang von Sauerstoff zu Wasserstoff.

Ein Diagramm mit experimentellen Messdaten findet sich hier:

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Komplexe Zahlen und Polynome

Etwas, das kaum jemand weiß, ist dass die komplexen Zahlen neben ihrem Einsatzgebiet in der Komplexen Wechselstromrechnung (HTLer kennen es) auch einen zweiten, wichtigen Nutzen haben.

In der Mathematik gibt es oft das Problem, zu einer gegebenen Funktion f(x) eine Zahl x zu finden, sodass f(x) = 0 gilt.

Insbesondere für Polynome ist das häufig der Fall, da sich viele wichtige Mathematischen Funktionen gut durch Polynome annähern lassen.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt nun, dass wenn wir zulassen, dass x eine komplexe Zahl sein darf, dann gibt es immer eine Lösung für das Problem, sodass f(x) = 0 ist.

Einschränkung: aber das Polynom darf nicht nur aus einem konstanten Term bestehen, also z.B. f(x) = 5 wäre unzulässig. Das x muss mindestens einmal im Polynom vorkommen. Ansonsten gibt es aber wirklich keine Einschränkungen :-)

PS: Im angegebenen Beispiel auf dem Bild (f(x) = x² + 2 = 0) wäre eine Lösung etwa x = √2 i ≈ 1.4 i.